什么是一个函数的反函数?还有,在什么条件下,一个函数没有反函数?什么情况没有?

Question

什么是一个函数的反函数?
还有,在什么条件下,一个函数没有反函数?什么情况没有?

Answer 1

一个函数的反函数,就是将原函数的x与y互换之后得到的新函数.
在什么条件下,一个函数没有反函数?
首先你得明白什么是函数.
通俗地说,函数就是每取一个x,只对应“一个”y值.（这大概是课本上定义的原话）
注意上面出现了两个“一个”,但着重点在后面,强调的是后面的“一个”,仔细体会.
这样函数就分成了三类：
1、每个x都有对应的y值,但某些y没有对应的x,例如
x={1,2,5,11,20},y={3,6,15,33,60,85,100},对应法则：乘以3.
你会发现x集合中的1,2,5,11,20分别对应了y集合中的3,6,15,33,60,但y中的85,100却多出来,没有与之对应的x,这也是函数.
虽然是集合,也是函数.
2、每个x对应一个y,同时一个y也对应一个x,这叫一一对应,在集合中叫一一映射.例如y=3x+1、y=1/x、y=2的x次方等等.
3、多个x对应一个y,例如
y=x的平方+1,x取±1时,y都等于2.又如
y=sinx,x取30°、150°、390°……时,y都等于0.5.
反函数也是函数,反完之后,也得满足函数的定义.
第1种情况,没有反函数.
假设它有反函数吧,那么x与y互换后得
x ={3,6,15,33,60,85,100},y= {1,2,5,11,20},对应法则：除以3.
会有一部分x没有对应的y值,不符合函数的定义.反完之后不叫函数了,那就是没有反函数.
第2种情况,有反函数.
x与y互换后得y=（x-1）/3、y=1/x、y=log2(x)等等.
符合函数的定义.反完之后仍旧是函数,所以就说有反函数.
第3种情况,没有反函数.
假设它有反函数吧,那么x与y互换后得什么呢,写不出来,但可知道的是：反完之后每一个x对应多个y值,不叫函数了,那就是没有反函数.(一例中x取2时,y是±1,另一例中x取0.5时,y得30°、150°、390°……)
太不公平了,多个x对应一个y,叫函数；多个y对应一个x,就不叫函数了.
综上所述,只有一一对应的函数才有反函数.