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椭圆ax^2+by^2=1与直线x+y=1相交于A,B两点,C为AB中点,|AB|=2√2,O为坐标原点,OC的斜率为√2/2求椭圆方程
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椭圆ax^2+by^2=1与直线x+y=1相交于A,B两点,C为AB中点,|AB|=2√2,O为坐标原点,OC的斜率为√2/2
求椭圆方程
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答案和解析
设A(x1,y1),B(x2,y2),用点差法得,
a(x1-x2)(x1+x2)+b(y1-y2)(y1+y2)=0,(y1-y2)/(x1-x2)= -1,
所以OC的斜率=(y1+y2)/(x1+x2)=a/b=√2/2,所以a√2=b, ①
所以椭圆ax^2+(√2)ay^2=1,与直线x+y-1=0联立,得
ax^2+b(x-1)^2=1
(a+b)x^2-2bx+b-1=0
x1+x2=2b/(a+b)
x1x2=(b-1)/(a+b)
再由|AB|=2√2=[√(1+kAB^2)]*√[(x1+x2)^2-4x1x2]=√[(x1+x2)^2-4x1x2]√2,
即2=√[(x1+x2)^2-4x1x2]=√{[2b/(a+b)]^2-4[(b-1)/(a+b)]} 两边平方得
b^2=(a+b)(b-1)化简得 a+b=ab ②
将①②联立方程组
最后解得a=(2+√2)/2,b=1+√2
所以椭圆方程为[(2+√2)/2]x^2+(1+√2)y^2=1
a(x1-x2)(x1+x2)+b(y1-y2)(y1+y2)=0,(y1-y2)/(x1-x2)= -1,
所以OC的斜率=(y1+y2)/(x1+x2)=a/b=√2/2,所以a√2=b, ①
所以椭圆ax^2+(√2)ay^2=1,与直线x+y-1=0联立,得
ax^2+b(x-1)^2=1
(a+b)x^2-2bx+b-1=0
x1+x2=2b/(a+b)
x1x2=(b-1)/(a+b)
再由|AB|=2√2=[√(1+kAB^2)]*√[(x1+x2)^2-4x1x2]=√[(x1+x2)^2-4x1x2]√2,
即2=√[(x1+x2)^2-4x1x2]=√{[2b/(a+b)]^2-4[(b-1)/(a+b)]} 两边平方得
b^2=(a+b)(b-1)化简得 a+b=ab ②
将①②联立方程组
最后解得a=(2+√2)/2,b=1+√2
所以椭圆方程为[(2+√2)/2]x^2+(1+√2)y^2=1
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