已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2(a>b>0)的离心率为(√6)/3,短轴一个端点到右焦点的距离为√3.1.求椭圆C的方程.2.设直线L与椭圆C交于A,B两点,坐标原点O到直线的距离为√3/2,求三角形AOB的面积的最大值.

Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2(a>b>0)的离心率为(√6)/3,短轴一个端点到右焦点的距离为√3.
1.求椭圆C的方程.
2.设直线L与椭圆C交于A,B两点,坐标原点O到直线的距离为√3/2,求三角形AOB的面积的最大值.

Answer 1

|AB|=√(1+k^2) √[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√(1+k^2) √[36k^2b^2/(1+3k^2)^2-4·3(b^2-1)/( 1+3k^2)]
=√(1+k^2) √[(36k^2+12-12b^2)/(1+3k^2)^2]
将b^2=3(k^2+1)/4代入
=√(1+k^2) √[(36k^2+12-9(k^2+1))/(1+3k^2)^2]
=√(1+k^2) √[3(9k^2+1) /(1+3k^2)^2]
=√(3+3k^2) √[(9k^2+1) /(1+3k^2)^2]
=√[(3+3k^2) (9k^2+1)] /(1+3k^2)
利用基本不等式
≤[(3+3k^2)+ (9k^2+1)] /[2 (1+3k^2)]=2
3+3k^2=9k^2+1时取到等号.
此时k=±3.
所以面积最大值是1/2·2·√3/2=√3/2.