已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，右焦点为F，右准线与轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，又|OA|=2|OB|，OA•OC=2过点F的直线与双曲线右支交于点M、N，点P为点M关

Question

已知双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，右焦点为F，右准线与轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，又|OA|=2|OB|，

OA

•

OC

=2过点F的直线与双曲线右支交于点M、N，点P为点M关于轴的对称点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）证明：B、P、N三点共线．(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，右焦点为F，右准线与轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，又|OA|=2|OB|，

OA

•

OC

=2过点F的直线与双曲线右支交于点M、N，点P为点M关于轴的对称点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）证明：B、P、N三点共线．(x2)/(a2)x2x2x2x22a2a2a2a22(y2)/(b2)y2y2y2y22b2b2b2b22

OA

•

OC

=2过点F的直线与双曲线右支交于点M、N，点P为点M关于轴的对称点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）证明：B、P、N三点共线．

OA

OAOA

OC

OCOC

Answer 1

（Ⅰ）A（a，0），B ((a2)/(c)，0)
由|

OA

|=2|

OB

|⇒ (a2)/(c)=(a)/(2)(1)
由

x=(a2)/(c)

y=(b)/(a)x

⇒C((a2)/(c)，(ab)/(c))，
∴

OA

•

OC

=2⇒(a2)/(c)=2(2)
解（1）（2）得a=2，c=4
双曲线方程为(x2)/(4)-(y2)/(12)=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
B（1，0），F（4，0）
设直线l的方程为x=ty+4

(x2)/(4)-(y2)/(12)=1

x=ty+4

⇒(3t2-1)y2+24ty+36=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则P(x1，-y1)∴

y1+y2=(-24t)/(3t2-1)

y1y2=(36)/(3t2-1)

∴

BP

=(x1-1，-y1)，

BN

=(x2-1，y2)（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）
=x₁y₂+x₂y₁-（y₁+y₂）
=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₁-（y₁+y₂）
=2ty1y2+3(y1+y2)=2t(36)/(3t2-1)+3(-24)/(3t2-1)=0
所以向量

BP

与

BN

共线，
即B、P、N三点共线． ((a2)/(c)a2a2a22ccc，0)
由|

OA

|=2|

OB

|⇒ (a2)/(c)=(a)/(2)(1)
由

x=(a2)/(c)

y=(b)/(a)x

⇒C((a2)/(c)，(ab)/(c))，
∴

OA

•

OC

=2⇒(a2)/(c)=2(2)
解（1）（2）得a=2，c=4
双曲线方程为(x2)/(4)-(y2)/(12)=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
B（1，0），F（4，0）
设直线l的方程为x=ty+4

(x2)/(4)-(y2)/(12)=1

x=ty+4

⇒(3t2-1)y2+24ty+36=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则P(x1，-y1)∴

y1+y2=(-24t)/(3t2-1)

y1y2=(36)/(3t2-1)

∴

BP

=(x1-1，-y1)，

BN

=(x2-1，y2)（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）
=x₁y₂+x₂y₁-（y₁+y₂）
=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₁-（y₁+y₂）
=2ty1y2+3(y1+y2)=2t(36)/(3t2-1)+3(-24)/(3t2-1)=0
所以向量

BP

与

BN

共线，
即B、P、N三点共线． |

OA

OAOAOA|=2|

OB

OBOBOB|⇒ (a2)/(c)a2a2a22ccc=(a)/(2)aaa222(1)
由

x=(a2)/(c)

y=(b)/(a)x

⇒C((a2)/(c)，(ab)/(c))，
∴

OA

•

OC

=2⇒(a2)/(c)=2(2)
解（1）（2）得a=2，c=4
双曲线方程为(x2)/(4)-(y2)/(12)=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
B（1，0），F（4，0）
设直线l的方程为x=ty+4

(x2)/(4)-(y2)/(12)=1

x=ty+4

⇒(3t2-1)y2+24ty+36=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则P(x1，-y1)∴

y1+y2=(-24t)/(3t2-1)

y1y2=(36)/(3t2-1)

∴

BP

=(x1-1，-y1)，

BN

=(x2-1，y2)（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）
=x₁y₂+x₂y₁-（y₁+y₂）
=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₁-（y₁+y₂）
=2ty1y2+3(y1+y2)=2t(36)/(3t2-1)+3(-24)/(3t2-1)=0
所以向量

BP

与

BN

共线，
即B、P、N三点共线．

x=(a2)/(c)

y=(b)/(a)x

x=(a2)/(c)

y=(b)/(a)x

x=(a2)/(c)

y=(b)/(a)x

x=(a2)/(c)

y=(b)/(a)x

x=(a2)/(c)x=(a2)/(c)x=(a2)/(c)a2a2a22cccy=(b)/(a)xy=(b)/(a)xy=(b)/(a)bbbaaax⇒C((a2)/(c)a2a2a22ccc，(ab)/(c)abababccc)，
∴

OA

•

OC

=2⇒(a2)/(c)=2(2)
解（1）（2）得a=2，c=4
双曲线方程为(x2)/(4)-(y2)/(12)=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
B（1，0），F（4，0）
设直线l的方程为x=ty+4

(x2)/(4)-(y2)/(12)=1

x=ty+4

⇒(3t2-1)y2+24ty+36=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则P(x1，-y1)∴

y1+y2=(-24t)/(3t2-1)

y1y2=(36)/(3t2-1)

∴

BP

=(x1-1，-y1)，

BN

=(x2-1，y2)（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）
=x₁y₂+x₂y₁-（y₁+y₂）
=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₁-（y₁+y₂）
=2ty1y2+3(y1+y2)=2t(36)/(3t2-1)+3(-24)/(3t2-1)=0
所以向量

BP

与

BN

共线，
即B、P、N三点共线．

OA

OAOAOA•

OC

OCOCOC=2⇒(a2)/(c)a2a2a22ccc=2(2)
解（1）（2）得a=2，c=4
双曲线方程为(x2)/(4)-(y2)/(12)=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
B（1，0），F（4，0）
设直线l的方程为x=ty+4

(x2)/(4)-(y2)/(12)=1

x=ty+4

⇒(3t2-1)y2+24ty+36=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则P(x1，-y1)∴

y1+y2=(-24t)/(3t2-1)

y1y2=(36)/(3t2-1)

∴

BP

=(x1-1，-y1)，

BN

=(x2-1，y2)（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）
=x₁y₂+x₂y₁-（y₁+y₂）
=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₁-（y₁+y₂）
=2ty1y2+3(y1+y2)=2t(36)/(3t2-1)+3(-24)/(3t2-1)=0
所以向量

BP

与

BN

共线，
即B、P、N三点共线． (x2)/(4)x2x2x22444-(y2)/(12)y2y2y22121212=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
B（1，0），F（4，0）
设直线l的方程为x=ty+4

(x2)/(4)-(y2)/(12)=1

x=ty+4

⇒(3t2-1)y2+24ty+36=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则P(x1，-y1)∴

y1+y2=(-24t)/(3t2-1)

y1y2=(36)/(3t2-1)

∴

BP

=(x1-1，-y1)，

BN

=(x2-1，y2)（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）
=x₁y₂+x₂y₁-（y₁+y₂）
=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₁-（y₁+y₂）
=2ty1y2+3(y1+y2)=2t(36)/(3t2-1)+3(-24)/(3t2-1)=0
所以向量

BP

与

BN

共线，
即B、P、N三点共线．

(x2)/(4)-(y2)/(12)=1

x=ty+4

(x2)/(4)-(y2)/(12)=1

x=ty+4

(x2)/(4)-(y2)/(12)=1

x=ty+4

(x2)/(4)-(y2)/(12)=1

x=ty+4

(x2)/(4)-(y2)/(12)=1(x2)/(4)-(y2)/(12)=1(x2)/(4)x2x2x22444-(y2)/(12)y2y2y22121212=1x=ty+4x=ty+4x=ty+4⇒(3t2-1)y2+24ty+36=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则P(x1，-y1)∴

y1+y2=(-24t)/(3t2-1)

y1y2=(36)/(3t2-1)

∴

BP

=(x1-1，-y1)，

BN

=(x2-1，y2)（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）
=x₁y₂+x₂y₁-（y₁+y₂）
=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₁-（y₁+y₂）
=2ty1y2+3(y1+y2)=2t(36)/(3t2-1)+3(-24)/(3t2-1)=0
所以向量

BP

与

BN

共线，
即B、P、N三点共线． 2-1)y2+24ty+36=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则P(x1，-y1)∴

y1+y2=(-24t)/(3t2-1)

y1y2=(36)/(3t2-1)

∴

BP

=(x1-1，-y1)，

BN

=(x2-1，y2)（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）
=x₁y₂+x₂y₁-（y₁+y₂）
=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₁-（y₁+y₂）
=2ty1y2+3(y1+y2)=2t(36)/(3t2-1)+3(-24)/(3t2-1)=0
所以向量

BP

与

BN

共线，
即B、P、N三点共线． 2+24ty+36=0
设M（x₁1，y₁1），N（x₂2，y₂2），
则P(x1，-y1)∴

y1+y2=(-24t)/(3t2-1)

y1y2=(36)/(3t2-1)

∴

BP

=(x1-1，-y1)，

BN

=(x2-1，y2)（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）
=x₁y₂+x₂y₁-（y₁+y₂）
=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₁-（y₁+y₂）
=2ty1y2+3(y1+y2)=2t(36)/(3t2-1)+3(-24)/(3t2-1)=0
所以向量

BP

与

BN

共线，
即B、P、N三点共线． P(x1，-y1)∴

y1+y2=(-24t)/(3t2-1)

y1y2=(36)/(3t2-1)

∴

BP

=(x1-1，-y1)，

BN

=(x2-1，y2)（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）
=x₁y₂+x₂y₁-（y₁+y₂）
=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₁-（y₁+y₂）
=2ty1y2+3(y1+y2)=2t(36)/(3t2-1)+3(-24)/(3t2-1)=0
所以向量

BP

与

BN

共线，
即B、P、N三点共线． 1，-y1)∴

y1+y2=(-24t)/(3t2-1)

y1y2=(36)/(3t2-1)

∴

BP

=(x1-1，-y1)，

BN

=(x2-1，y2)（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）
=x₁y₂+x₂y₁-（y₁+y₂）
=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₁-（y₁+y₂）
=2ty1y2+3(y1+y2)=2t(36)/(3t2-1)+3(-24)/(3t2-1)=0
所以向量

BP

与

BN

共线，
即B、P、N三点共线． 1)∴

y1+y2=(-24t)/(3t2-1)

y1y2=(36)/(3t2-1)

y1+y2=(-24t)/(3t2-1)

y1y2=(36)/(3t2-1)

y1+y2=(-24t)/(3t2-1)

y1y2=(36)/(3t2-1)

y1+y2=(-24t)/(3t2-1)

y1y2=(36)/(3t2-1)

y1+y2=(-24t)/(3t2-1)y1+y2=(-24t)/(3t2-1)y1+y2=(-24t)/(3t2-1)1+y2=(-24t)/(3t2-1)2=(-24t)/(3t2-1)-24t-24t-24t3t2-13t2-13t2-12-1y1y2=(36)/(3t2-1)y1y2=(36)/(3t2-1)y1y2=(36)/(3t2-1)1y2=(36)/(3t2-1)2=(36)/(3t2-1)3636363t2-13t2-13t2-12-1
∴

BP

=(x1-1，-y1)，

BN

=(x2-1，y2)（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）
=x₁y₂+x₂y₁-（y₁+y₂）
=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₁-（y₁+y₂）
=2ty1y2+3(y1+y2)=2t(36)/(3t2-1)+3(-24)/(3t2-1)=0
所以向量

BP

与

BN

共线，
即B、P、N三点共线．

BP

BPBPBP=(x1-1，-y1)，

BN

=(x2-1，y2)（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）
=x₁y₂+x₂y₁-（y₁+y₂）
=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₁-（y₁+y₂）
=2ty1y2+3(y1+y2)=2t(36)/(3t2-1)+3(-24)/(3t2-1)=0
所以向量

BP

与

BN

共线，
即B、P、N三点共线． 1-1，-y1)，

BN

=(x2-1，y2)（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）
=x₁y₂+x₂y₁-（y₁+y₂）
=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₁-（y₁+y₂）
=2ty1y2+3(y1+y2)=2t(36)/(3t2-1)+3(-24)/(3t2-1)=0
所以向量

BP

与

BN

共线，
即B、P、N三点共线． 1)，

BN

BNBNBN=(x2-1，y2)（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）
=x₁y₂+x₂y₁-（y₁+y₂）
=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₁-（y₁+y₂）
=2ty1y2+3(y1+y2)=2t(36)/(3t2-1)+3(-24)/(3t2-1)=0
所以向量

BP

与

BN

共线，
即B、P、N三点共线． 2-1，y2)（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）
=x₁y₂+x₂y₁-（y₁+y₂）
=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₁-（y₁+y₂）
=2ty1y2+3(y1+y2)=2t(36)/(3t2-1)+3(-24)/(3t2-1)=0
所以向量

BP

与

BN

共线，
即B、P、N三点共线． 2)（x₁1-1）y₂2-（x₂2-1）（-y₁1）
=x₁1y₂2+x₂2y₁1-（y₁1+y₂2）
=（ty₁1+4）y₂2+（ty₂2+4）y₁1-（y₁1+y₂2）
=2ty1y2+3(y1+y2)=2t(36)/(3t2-1)+3(-24)/(3t2-1)=0
所以向量

BP

与

BN

共线，
即B、P、N三点共线． 2ty1y2+3(y1+y2)=2t(36)/(3t2-1)+3(-24)/(3t2-1)=0
所以向量

BP

与

BN

共线，
即B、P、N三点共线． 1y2+3(y1+y2)=2t(36)/(3t2-1)+3(-24)/(3t2-1)=0
所以向量

BP

与

BN

共线，
即B、P、N三点共线． 2+3(y1+y2)=2t(36)/(3t2-1)+3(-24)/(3t2-1)=0
所以向量

BP

与

BN

共线，
即B、P、N三点共线． 1+y2)=2t(36)/(3t2-1)+3(-24)/(3t2-1)=0
所以向量

BP

与

BN

共线，
即B、P、N三点共线． 2)=2t(36)/(3t2-1)3636363t2-13t2-13t2-12-1+3(-24)/(3t2-1)-24-24-243t2-13t2-13t2-12-1=0
所以向量

BP

与

BN

共线，
即B、P、N三点共线．

BP

BPBPBP与

BN

共线，
即B、P、N三点共线．

BN

BNBNBN共线，
即B、P、N三点共线．