如图,已知P为脚AOB的边OA上一点,且OP=2,以P为顶点的脚MPN的两边分别交射线OB于M,N如图,已知P为∠AOB的边OA上一点,以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M、N两点,且∠MPN=∠AOB=60°.当∠MPN以点P为

Question

如图,已知P为脚AOB的边OA上一点,且OP=2,以P为顶点的脚MPN的两边分别交射线OB于M,N
如图,已知P为∠AOB的边OA上一点,以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M、N两点,且∠MPN=∠AOB=60°.当∠MPN以点P为旋转中心,PM边与PO重合的位置开始,按逆时针方向旋转（∠MPN保持不变）时,M、N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动.设OM=x,ON=y（y＞x＞0）,△POM的面积为S,若OP=2.
1.写出y与x之间的关系式
2.写出S随x变化的函数关系式,并确定S的取值范围

Answer 1

（1）∵sina= 且a为锐角,
∴a=60°,即∠BOA=∠MPN=60°．（1分）
∴初始状态时,△PON为等边三角形,
∴ON=OP=2,当PM旋转到PM'时,点N移动到N',
∵OPM'=30°,∠BOA=∠M'PN'=60°,
∴M'N'P=30°．（2分）
在Rt△OPM'中,ON'=2PO=2×2=4,
∴NN'=ON'-ON=4-2=2,
∴点N移动的距离为2； （3分）
证明：（2）在△OPN和△PMN中,
∠PON=∠MPN=60°,∠ONP=∠PNM,
∴△OPN∽△PMN； （4分）
（3）∵MN=ON-OM=y-x,
∴PN2=ON•MN=y（y-x）=y2-xy．
过P点作PD⊥OB,垂足为D．
在Rt△OPD中,
OD=OP•cos60°=2× =1,PD=POsin60°= ,
∴DN=ON-OD=y-1．
在Rt△PND中,
PN2=PD2+DN2=（ ）2+（y-1）2=y2-2y+4．（5分）
∴y2-xy=y2-2y+4,
即y= ； （6分）
（4）在△OPM中,OM边上的高PD为 ,
∴S= •OM•PD= •x• x．（8分）
∵y＞0,
∴2-x＞0,即x＜2．
又∵x≥0,
∴x的取值范围是0≤x＜2．
∵S是x的正比例函数,且比例系数 ,
∴0≤S＜ ×2,即0≤S＜ ． （9分）