已知如图,在四边形ABCD中,AD平行于BC,BD垂直于AD,点E,F分别是AB,CD的中点,DE=BF.求证角A=角C

Question

已知如图,在四边形ABCD中,AD平行于BC,BD垂直于AD,点E,F分别是AB,CD的中点,DE=BF.求证角A=角C

Answer 1

设BD与EF相交于点M
∵AD∥BC,AD⊥BD,E、F为AB、CD中点
∴EF⊥BD于点M,且DM=BM,EF∥AD∥BC
又①DE=BF可得△DEM≌△BFM（HR定理）
∴∠DEF=∠BFE
又∠ADE=∠DEF,∠CBF=∠BFE,∠AEF=∠CFE（内错角相等定理）
有②∠ADE=∠CBF,∠AEF-∠DEF=∠CFE-∠BFE,即③∠AED=∠CFB
由①②③可得△ADE≌△CBF（角边角定理）
∴∠A=∠C得证