已知：如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、DC边上的点,且AE⊥EF于点E．（1）延长EF交正方形ABCD的外角平分线CP于点P,试判断AE与EP的大小关系,并说明理由；（2）在AB边上是否存在一点M,使得四边

Question

已知：如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、DC边上的点,且AE⊥EF于点E．
（1）延长EF交正方形ABCD的外角平分线CP于点P,试判断AE与EP的大小关系,并说明理由；
（2）在AB边上是否存在一点M,使得四边形DMEP是平行四边形?若存在,请给予证明；若不存在,请说明理由．

Answer 1

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分析：（1）在AB上取BH=BE,连接EH,根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECP,从而得到AE=EP；
（2）先证△DAM≌△ABE,进而可得四边形DMEP是平行四边形．
（1）结论：AE=PE．理由如下：（1分）
在AB上截取BN=BE．（2分）
∵四边形ABCD为正方形,∴AB=BC,∠B=90°．
∴AN=EC,∠1=∠2=45°．
∴∠4=135°．
∵CP为正方形ABCD的外角平分线,
∴∠PCE=135°．∴∠PCE=∠4．
∵∠AEP=90°,∴∠BEA+∠3=90°．
∵∠BAE+∠BEA=90°,∴∠3=∠BAE．
∴△ANE≌△ECP．
∴AE=EP．（3分）
存在点M使得四边形DMEP是平行四边形．（4分）
理由如下：过点D作DM∥PE,交AE于点K,交AB于点M,连接ME、DP．（5分）
∴∠AKD=∠AEP=90°．
∵∠BAD=90°,∴∠ADM+∠AMD=90°,∠MAK+∠AMD=90°．
∴∠ADM=∠MAK．
∵AD=AB,∠B=∠DAB,
∴△AMD≌△BEA．（6分）
∴DM=AE．∴DM=EP．
∴四边形DMEP为平行四边形．（7分）
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