将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠,使点B落在AD上,MN为折痕,折叠后B'C’与DN交于P,则四边形MNC'B '的最小值是多少面积的最小值是多少

Question

将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠,使点B落在AD上,MN为折痕,折叠后B'C’与DN交于P,则四边形MNC'B '
的最小值是多少
面积的最小值是多少

Answer 1

 

过N作NR⊥AB与R,
则RN=BC=1,
连BB′,交MN于Q．则由折叠知,
△MBQ与△MB′Q关于直线MN对称,即△MBQ≌△MB′Q,
有BQ=B′Q,MB=MB′,MQ⊥BB′．
∵∠A=∠MQB,∠ABQ=∠ABB′,
∴△MQB∽△B′AB,
∴AB'/MQ=AB/BQ=BB'/MB．
设AB′=x,则BB′=根号1+x²,BQ=1/2根号1+x²,代入上式得：
BM=B'M=1/2（1+x²）．
∵∠MNR+∠BMQ=90°,∠ABB′+∠BMQ=90°,
∴∠MNR=∠ABB′,
在△MRN和△B′AB中,
∵∠MNR=∠ABB′,RN=AB,∠A=∠NRM=90°
∴△MRN≌△B′AB（ASA）,
∴MR=AB′=x．
故C'N=CN=BR=MB-MR=1/2(1+x²)-x=1/2（x-1）²
 
‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍∴S梯形MNC′B′=1/2【1/2（x-1）²+1/2（x²+1）】×1=
   当x=1/2时,梯形面积最小,其最小值3/8
 
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