如图,ABCD是边长为1的正方形,E,F,G,H分别是四条边AB,BC,CD,DA的中点.计算图中阴影八边形的面积.

Question

如图,ABCD是边长为1的正方形,E,F,G,H分别是四条边AB,BC,CD,DA的中点.计算图中
阴影八边形的面积.

Answer 1

做上每角的连接线,将中间平方八块小三角形



三角形中位线定理,AC = AI/2 => CE = HI/2
因此 △ ACE = 1/4 △AHI = 1/4 x 1/4 x □ ABCD = 1/16


三角形中位线定理,AB = FG / 2 => AB = BC =>  △ABD面积 =  △BDC面积
而中间八块平分,所以 △CDE面积 =  △BDC面积 = △ ACE面积 / 3 = 1/16 * 1/3 = 1/48


八块 = 8 x 1/48 = 1/6


不是正八边形,只是等边八边形!
如果是正八边形,而 BC = CD,那△BCD跟D到下方两顶点的大三角形应该是相似三角形,则红边跟下面的黑边就应该等长!
然而如果是正八边形 红边 = 1/4 + sqrt(2)/2 而黑边是 1.
因此正八边形不成立!