在关于x的一元二次方程a（1-x）-2倍根号2×bx+c（1+x）=0中,a,b,c是Rt△ABC的三条边,∠C=90°（1）求证：此方程必有两个不相等的实数根 （2）如果这个方程的两根为X1,X2,且X1+X2=12,求a:b:c

Question

在关于x的一元二次方程a（1-x）-2倍根号2×bx+c（1+x）=0中,a,b,c是Rt△ABC的三条边,∠C=90°
（1）求证：此方程必有两个不相等的实数根 （2）如果这个方程的两根为X1,X2,且X1+X2=12,求a:b:c

Answer 1

（1）原方程可化为：（c-a) -2倍根号2×bx+（c+a）=0 Δ=b -4ac=(-2倍根号2×b)-4(c-a)(c+a)=8b-4(c-a) 因为△ABC为Rt三角形,∠C=90°,a、b、c是Rt△ABC的三条边 所以c-a=b,所以Δ=8b-4b=4b 因为b是三角形的一条边,所以b＞0,所以4b＞0,即Δ＞0 所以此方程必有两个不相等的实数根.