若函数F(X),G(X)分别是R上的奇函数,偶函数,且满足F(X)-G(X)=3^x则F(2),G(0),F（3）的大小

Question

若函数F(X),G(X)分别是R上的奇函数,偶函数,且满足F(X)-G(X)=3^x
则F(2),G(0),F（3）的大小

Answer 1

若函数F(X),G(X)分别是R上的奇函数,偶函数,且满足F(X)-G(X)=3^x
f(x),g(x)分别是R上的奇函数,偶函数
f(-x)=-f(x)
g(-x)=g(x)
f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x)=e^(-x)
f(x)-g(x)=e^x
相加
-2g(x)=e^x+e^(-x)
g(x)=-[e^x+e^(-x)]/2
f(x)=[e^x-e^(-x)]/2
g(0)=-1
f(2)=(e^2-1/e^2)/2=(e^4-1)/2e^2>0
f(3)=(e^3-1/e^3)/2=(e^6-1)/2e^3>0
f(2)/f(3)=(e^4-1)*e^3/(e^6-1)*e^2
=(e^2+1)(e^2-1)*e/(e^2-1)(e^4+e^2+1)
=(e^3+e)/(e^4+e^2+1)
(e^3+e)/(e^4+e^2+1)-1=[(e^3-e^4)+(e-e^2)-1]/(e^4+e^2+1)