奇函数f（x）=ax³+bx²+cx的图像经过点A（-√2,√2）,B（2√2,10√2）.（1）求f（x）的表达式；（2）求f（x）的单调区间；（3）若方程f（x）+m=0有三个不同的实根,求m的取值范围

Question

奇函数f（x）=ax³+bx²+cx的图像经过点A（-√2,√2）,B（2√2,10√2）.（1）求f（x）的表达式；（2）求f（x）的单调区间；（3）若方程f（x）+m=0有三个不同的实根,求m的取值范围

Answer 1

（1）因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x)
即-ax³+bx²-cx=-ax³-bx²-cx 恒成立 所以b=0
又因为过AB两点将两点坐标带入公式f（x）=ax³+cx可以求出a=1 c=-3
所以f（x）=x³-3x
（2）对f（x）求导 导函数为f`(x)=3x²-3 令f`(x)=0解的x=1或-1
所以在（1,+无穷）单调递增；在（-1,1）上单调递减 ；在（-无穷,-1）单调递增
（3)f(-1)=2,f(1)=-2,当m属于（-2,2）时有三个实根