求解高等数学偏导的问题,第二题是如何得出此答案的,u(x,2x)是啥意思?

Question

求解高等数学偏导的问题,第二题是如何得出此答案的,u(x,2x)是啥意思?

Answer 1

u(x,y)是二元函数, u(x,2x)就是将y = 2x代入其中得到的关于x的一元函数.
类似的, 偏导数u'x(x,y)和u"xx(x,y)等都是二元函数, 将y = 2x代入得到u'x(x,2x)和u"xx(x,2x).
由链式求导法则, 一元函数u(x,2x)的导数为u'x(x,2x)·1+u'y(x,2x)·2 = u'x(x,2x)+2u'y(x,2x).
∵u(x,2x) = x及u'x(x,2x) = x², ∴u'y(x,2x) = (1-x²)/2.
进而一元函数u'x(x,2x)的导数为u"xx(x,2x)·1+u"yx(x,2x)·2 = u"xx(x,2x)+2u"yx(x,2x).
∵u'x(x,2x) = x², ∴2x = u"xx(x,2x)+2u"yx(x,2x) ①.
类似有-x = ((1-x²)/2) = (u'y(x,2x))' = u"xy(x,2x)+2u"yy(x,2x) ②.
∵u的二阶偏导连续, ∴u"xy(x,y) = u"yx(x,y).
于是①-2·②得4x = u"xx(x,2x)-4u"yy(x,2x).
又由u满足方程u"xx-u"yy = 0, 代入得-3u"xx(x,2x) = 4x, 即u"xx(x,2x) = -4x/3.