(a)用定义证明{1,x,x^2,x^3}是P3(x)={a3x^3+a2x^2+a1x+a0:a3;a2;a1;a0∈R}的基(基底)(b)用R4的向量坐标来证明这个基{-x^2-2x+1;-3x^3-2x^2-3x+4;-6x^3-x^2+5;4x^3+3^x2+3x-9}是P3的基(c)W=

Question

(a) 用定义证明 {1,x,x^2,x^3} 是 P3(x) = {a3 x^3 + a2 x^2 + a1 x + a0 :a3; a2; a1; a0 ∈ R} 的基(基底)
(b) 用R4的向量坐标来证明这个基 {-x^2- 2x + 1; -3x^3 - 2x^2 - 3x + 4; -6x^3 - x^2 + 5;
4x^3 + 3^x2 + 3x - 9} 是P3的基
(c) W = {p(x) ∈P3(x) :p(1) = 0} 是P3的子空间吗?为什么

Answer 1

（a)显然,1,x,x^2,x^3是线性无关的,P3(x)的元素可用它们线性表示,∴{1,x,x^2,x^3} 是 P3(x)的基底.（b)计算系数行列式0 -1 -2 1-3 -2 -3 4-6 -1 0 54 3 3 -9,把第四列的1,2倍加到第二、三列,再按第一行展开,得-1*-3 ...