f(x)=akx^k+a(k-1)x^(k-1).+a0A为n阶矩阵,若f(A)=O,则A可逆并写出A的逆注意前面k和k-1是下标

Question

f(x)=ak x^k +a(k-1) x^(k-1).+a0 A为n阶矩阵,若f(A)=O,则A可逆 并写出A的逆
注意前面k和k-1是下标

Answer 1

f(A)=O
单位阵为E
f(x)的常数项a0非零
f(A)=ak×A^k +a(k-1)×A^(k-1)+...+a1×A+a0×E=0
将上式中得a0×E移项,剩余部分提取公因子A,得到
[ak×A^(k-1) +a(k-1)×A^(k-2)+...+a1×E]A=-a0E
（-1/a0）[ak×A^(k-1) +a(k-1)×A^(k-2)+...+a1×E]A=E
所以A可逆,并且A的逆矩阵为
（-1/ao）[ak×A^(k-1) +a(k-1)×A^(k-2)+...+a1×E]