已知数列满足an+2=4an+1-4an,a1=2,a2=8证明an+1-2an是等比数列,证明an/2^n是等

Question

已知数列满足an+2=4an+1-4an,a1=2,a2=8 证明an+1-2an 是等比数列,证明an/2^n是等

Answer 1

由：a(n+2)=4a(n+1)-4a(n)
立即可得：
a(n+2)-2a(n+1) = 2a(n+1)-4a(n) = 2*[a(n+1)-2a(n)]
所以显然：
{a(n+1)-2a(n)}是等比数列~且公比q=2
【第一个结论得证】
记：
b(n)=a(n+1)-2a(n).b(n)为q=2的等比数列.
且b(1) =a(2)-2a(1) =6
则：
b(n) = b(1)*q^(n-1) = 6*2^(n-1) = 3*2^n
即：
a(n+1) - 2a(n) =3*2^n
等式两边同时除以2^(n+1) 得到：
a(n+1)/2^(n+1) - a(n)/2^n =3/2
所以显然得到：
an/2^n是等差数列,且公差d=3/2.