边长为1的正四面体体高?体积?边长为1的正四面体体高是多少?体积是多少?

Question

边长为1的正四面体 体高?体积?
边长为1的正四面体 体高是多少?体积是多少?

Answer 1

要想确知此问题, 从正四面体与正方体的关系来计算是比较好的办法.
一个正方体ABCD-A'B'C'D'中, 有8个顶点, 6个面. 取顶点ACB'D'可连成一个正四面体, 取另四个顶点(即A'C'BD)也行.
在正方体中取正四面体的要诀是: 在正方体的每个面上取一条对角线, 保持后取的对角线与先取的对角线有公共顶点, 那么所取6条对角线一定搭成正四面体.
正方体的面对角线长为1, 那么棱长就是1/√2, 体积就是1/(2√2), 空间对角线长是√3/√2.
内嵌正四面体=正方体削掉四个角, 每个角的体积=正方体体积/6,
所以正四面体体积=正方体体积/3=1/(6√2)=√2/12
内嵌正四面体高=2/3正方体空间对角线=√2/√3=√6/3