函数y=f(x)在点x0处可导,证明它在点x0处一定连续,并举例说明其逆不真.

Question

函数 y=f(x)在点x0 处可导,证明它在点 x0处一定连续,并举例说明其逆不真.

Answer 1

函数 y=f(x)在点x0 处可导,有
　lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0) = f'(x0),
于是
lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]
= lim(x→x0){[f(x)-f(x0)]/(x-x0)}*(x-x0)
= f'(x0)*0 = 0,
即 f 在点x0处连续.
其逆不真.例如函数f(x) = |x|在x = 0点处连续但不可导.
以上几乎每一部教材都会有的,动手翻翻书就有,没必要在这儿提问.