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f（x）是周期为2的连续函数，（1）证明对任意实数都有∫t+2tf(x)dx＝∫20f(x)dx（2）证明g（x）=∫x0[2f(t)−∫t+2tf(s)ds]dt是周期为2的周期函数．
题目详情
f（x）是周期为2的连续函数，
（1）证明对任意实数都有
f(x)dx＝
f(x)dx
（2）证明g（x）=
[2f(t)−
f(s)ds]dt是周期为2的周期函数．
（1）证明对任意实数都有
| ∫ | t+2 t |
| ∫ | 2 0 |
（2）证明g（x）=
| ∫ | x 0 |
| ∫ | t+2 t |
▼优质解答
答案和解析
（1）因为f（x）的周期为2，所以f（x+2）=f（x）．
对于
f(x)dx，令x=2+u，则
f(x)dx＝
f(2+u)du=
f(u)du=
f(x)dx
所以
f(x)dx=
f(x)dx+
f(x)dx+
f(x)dx＝
f(x)dx
（2）g（x+2）=
[2f(t)−
f(s)ds]dt=
[2f(t)−
f(s)ds]dt+
[2f(t)−
f(s)ds]dt=g(x)+
[2f(t)−
f(s)ds]dt=g(x)+2
f(t)dt−
f(s)dsdt
因为
f(x)dx＝
f(x)dx
所以
f(s)dsdt＝
f(s)dsdt=t•
f(s)ds
对于
| ∫ | t+2 t |
| ∫ | t+2 t |
| ∫ | t 0 |
| ∫ | t 0 |
| ∫ | t 0 |
所以
| ∫ | t+2 t |
| ∫ | 0 t |
| ∫ | 2 0 |
| ∫ | t+2 2 |
| ∫ | 2 0 |
（2）g（x+2）=
| ∫ | x+2 0 |
| ∫ | t+2 t |
| ∫ | x 0 |
| ∫ | t+2 t |
| ∫ | x+2 x |
| ∫ | t+2 t |
| ∫ | x+2 x |
| ∫ | t+2 t |
| ∫ | x+2 x |
| ∫ | x+2 x |
| ∫ | t+2 t |
因为
| ∫ | t+2 t |
| ∫ | 2 0 |
所以
| ∫ | x+2 x |
| ∫ | t+2 t |
| ∫ | x+2 x |
| ∫ | 2 0 |
| ∫ | 2 0 |
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