已知f(x)=1/x+lnx,若f(x)=a有2个不同根x1,x2,求证x1+x2＞2

Question

已知f(x)=1/x+lnx,若f(x)=a有2个不同根x1,x2,求证x1+x2＞2

Answer 1

f'(x) = -1/x²+1/x = (x-1)/x².
可知f(x)在(0,1)严格递减,在(1,+∞)严格递增,
在x = 1处取得唯一最小值f(1) = 1.
对a > 1,f(x) = a在(0,1)与(1,+∞)中各恰有一个实根.
不妨设x1 ∈ (0,1),x2 ∈ (1,+∞).
设g(x) = f(1-x)-f(1+x) = 1/(1-x)+ln(1-x)-1/(1+x)-ln(1+x).
则对任意x > 0,g'(x) = 1/(1-x)²-1/(1-x)+1/(1+x)²-1/(1+x)
= x/(1-x)²-x/(1+x)²
= 4x²/((1-x)(1+x))²
> 0.
因此g(x)在[0,1)严格单调递增,对任意t ∈ (0,1),成立g(t) > g(0) = 0.
这样就证明了对任意t ∈ (0,1),有f(1-t) > f(1+t).
在其中取t = 1-x1,得f(x2) = a = f(x1) > f(2-x1).
又x2 > 1,2-x1 > 1,且f(x)在(1,+∞)严格递增,
可得x2 > 2-x1,即x1+x2 > 2.