已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a，b，c∈R）满足：对任意实数x，都有f（x）≥x，且当x∈（1，3）时，有f(x)≤18(x+2)2成立．（1）若f（x）满足f（x1）=f（x2）（x1≠x2），求证：f（x1+x2）=c；（2

Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，（a，b，c∈R）满足：对任意实数x，都有f（x）≥x，且当x∈（1，3）时，有f(x)≤(1)/(8)(x+2)2成立．
（1）若f（x）满足f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂），求证：f（x₁+x₂）=c；
（2）求f（2）的值；
（3）若f（-2）=0，求f（x）的表达式．

Answer 1

（1）f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂），得对称轴为x＝(x1+x2)/(2)＝−(b)/(2a)，
即x1+x2＝−(b)/(a)
所以f(x1+x2)＝f(−(b)/(a))＝a•(−(b)/(a))2−b•(b)/(a)+c=c．
因为二次函数的对称轴为x＝(x1+x2)/(2)，f（x₁）=f（x₂），
得f（x₁+x₂）=f（0）=c
 （2）由条件知 f（2）=4a+2b+c≥2恒成立
又∵取x=2时，f(2)＝4a+2b+c≤(1)/(8)(2+2)2＝2与恒成立，
∴f（2）=2
 （3）∵

4a+2b+c＝2

4a−2b+c＝0

，
∴4a+c=2b=1，∴b＝(1)/(2)，c＝1−4a．
又 f（x）≥x恒成立，即ax²+（b-1）x+c≥0恒成立．
∴a＞0，△＝((1)/(2)−1)2−4a(1−4a)≤0，
解出：a＝(1)/(8)，b＝(1)/(2)，c＝(1)/(2)，
∴f(x)＝(1)/(8)x2+(1)/(2)x+(1)/(2)