设函数f（x）=ex（x3-3x+3）-aex-x（x≥-2），若不等式f（x）≤0有解，则实数α的最小值为（）A.2e-1B.2-2eC.1-1eD.1+2e2

Question

设函数f（x）=e^x（x³-3x+3）-ae^x-x（x≥-2），若不等式f（x）≤0有解，则实数α的最小值为（　　）

A.

(2)/(e)-1

B. 2-

(2)/(e)

C. 1-

(1)/(e)

D. 1+2e²

Answer 1

f（x）≤0可化为
e^x（x³-3x+3）-ae^x-x≤0，
即a≥x³-3x+3-(x)/(ex)，
令F（x）=x³-3x+3-(x)/(ex)，
则F′（x）=3x²-3+(x-1)/(ex)=（x-1）（3x+3+e^-x），
令G（x）=3x+3+e^-x，则G′（x）=3-e^-x，
故当e^-x=3，即x=-ln3时，
G（x）=3x+3+e^-x有最小值G（-ln3）=-3ln3+6=3（2-ln3）>0，
故当x∈[-2，1）时，F′（x）<0，x∈（1，+∞）时，F′（x）>0；
故F（x）有最小值F（1）=1-3+3-(1)/(e)=1-(1)/(e)；
故实数α的最小值为1-(1)/(e)．
故选：C．