如图所示，在第I象限存在匀强磁场E0和云强磁场B0，电场方向竖直向下，磁场方向垂直纸面向外．在第IV象限存在有界匀强磁场，磁场的方向也垂直纸面向外，边界OP与x轴所成夹角θ=30°．一

Question

如图所示，在第I象限存在匀强磁场E₀和云强磁场B₀，电场方向竖直向下，磁场方向垂直纸面向外．在第IV象限存在有界匀强磁场，磁场的方向也垂直纸面向外，边界OP与x轴所成夹角θ=30°．一根长为L的绝缘细杆ab竖直放置在第I象限，下端b恰好在x轴上，且与原点O相距d，现将套在杆上的轻质带电小球从上端a由静止释放，小球先加速后匀速运动到b端，进入第IV象限后恰能垂直边界OP飞出．已知小球质量为m，电量为+q，小球与绝缘杆间的动摩擦因数为μ，小球的重力忽略不计．
（1）求小球到达b端时的速度v的大小；
（2）求第IV象限磁场的磁感应强度B的大小；
（3）若只改变物理量E₀、B₀、B中的一个，使得小球能回到第I象限，试分析如何改变？

Answer 1

（1）小球下落的过程中受到电场力、洛伦兹力、杆的支持力和摩擦力，当到达最大速度时受力平衡，则：qE₀=f_摩擦力=μF_N
又：F_N=f_洛=qvB₀
联立解得：v＝(E0)/(μB0)…①
（2）若小球先加速后匀速运动到b端，进入第IV象限后恰能垂直边界OP飞出．小球在磁场中的运动轨迹如图，由几何关系得：
R=d
由于洛伦兹力提供向心力，得：qvB＝(mv2)/(R)…②
所以：B＝(mv)/(qR)＝(mE0)/(μqdB0)…③
（3）若只改变物理量E₀、B₀、B中的一个，使得小球能回到第I象限则小球不能从边界OP上射出，其临界轨迹如图，则：
由几何关系得：R′+(R′)/(sin30°)＝d
即：R′＝(1)/(3)d
由于洛伦兹力提供向心力，得：qv′B＝(mv′2)/(R′)…④
得：比较③⑤得：B′＝(mv′)/(qR′)＝(3mE0)/(μqdB0)
即若E₀和B₀不变，则需要将B增大为原来的3倍．
比较①②④可得，若B不变，则：v′＝(1)/(3)v=(1)/(3)(E0)/(μB0)
所以：使得小球能回到第I象限可以将E₀减小为原来的(1)/(3)，或将B₀增大为原来的3倍；
答：（1）小球到达b端时的速度v的大小(E0)/(μB0)；
（2）第IV象限磁场的磁感应强度B的大小(mE0)/(μqdB0)；
（3）若只改变物理量E₀、B₀、B中的一个，使得小球能回到第I象限，若E₀和B₀不变，则需要将B增大为原来的3倍，或若B不变，使得小球能回到第I象限可以将E₀减小为原来的(1)/(3)，或将B₀增大为原来的3倍．