如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，过其对角线BD1的平面分别与AA1、CC1相交于点E，F，求截面四边形BED1F面积的最小值．

Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，过其对角线BD₁的平面分别与AA₁、CC₁相交于点E，F，求截面四边形BED₁F面积的最小值．

Answer 1

因为在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面AA₁DD₁与平面BB₁C₁CP平行，
而经过对角线BD₁的平面分别与这两个相交于D₁E与BF，
根据面面平行的性质定理，故D₁E∥BF，同理可证BE∥FD₁，
所以四边形EBFD₁的形状为平行四边形．
作EH⊥BD₁，H为垂足，且H∈BD₁，要求四边形BED₁F面积的最小值，转化为求EH的最小值．∵AA₁∥平面BDD₁B₁，∴当且仅当EH为直线AA₁到平面BDD₁B₁的距离时，EH最小，易得EH_min=(√(2))/(2)，
截面四边形BED₁F面积的最小值为2×（(1)/(2)BD₁•EH）=√(3)a×(√(2))/(2)=(√(6))/(2)a．