已知数列{an}满足an+2=qan（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列．（1）求q的值和{an}的通项公式；（2）设{bn}满足bn+1=bn+a2n-1（n∈N*），b1=2，求数列{bn}的通项公式

Question

已知数列{a_n}满足a_n+2=qa_n（q为实数，且q≠1），n∈N^*，a₁=1，a₂=2，且a₂+a₃，a₃+a₄，a₄+a₅成等差数列．
（1）求q的值和{a_n}的通项公式；
（2）设{b_n}满足b_n+1=b_n+a_2n-1（n∈N^*），b₁=2，求数列{b_n}的通项公式及前n项和S_n．

Answer 1

（1）∵a₂+a₃，a₃+a₄，a₄+a₅成等差数列，
∴2（a₃+a₄）=a₄+a₅+a₂+a₃．
化为a₂-a₃-a₄+a₅=0，
∵a_n+2=qa_n（q为实数，且q≠1），n∈N^*，a₁=1，a₂=2，
∴a₃=q，a₄=2q，a₅=q²，
∴2-q-2q+q²=0，q≠1，
解得q=2．
当n=2k-1（k∈N^*）时，a_2k+1=2a_2k-1，又a₁=1，∴a_2k-1=2^k-1；
当n=2k时，a_2k+2=2a_2k，又a₂=2，a_2k=2×2^k-1=2^k．
综上可得：a_n=

2(n-1)/(2)，n为奇数

2(n)/(2)，n为偶数

．
（2）{b_n}满足b_n+1=b_n+a_2n-1（n∈N^*），b₁=2，
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=a_2n-3+a_2n-5+…+a₁+2
=2^n-2+2^n-3+…+1+2
=(2n-1-1)/(2-1)+2
=2^n-1+1．