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(2012•平顶山一模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=10,P是AB边上的一个动点(异于A、B两点),过点P作PQ⊥AC于Q,以PQ为边向下作等边三角形PQR.设AP=x,△PQR与△ABC重叠部分的面积
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(1)当x=2时,求y的值;
(2)当x取何值时,四边形AQRB是等腰梯形;当x取何值时,四边形PQRB是平行四边形.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵∠A=30°,∠AQP=90°,
∴QP=
AP=1.
此时△PQR在△ABC内,y=S△PQR=
;
(2)①∵四边形AQRB是等腰梯形,
∴BR=AQ,∠PBR=∠A=30°.
∵∠APQ=∠RPQ=60°,
∴∠BPR=60°.
又∵PR=PQ,
∴△BPR≌△APQ.
∴BP=AP=
AB.
∴AP=
AB=5.
∴当x=5时,四边形AQRB是等腰梯形.
②要使四边形PQRB是平行四边形,则R应在BC上.
∵△PQR是等边三角形,
∴QR=PQ=
x.
又∵四边形PQRB是平行四边形,
∴BP=QR=
x.
∴AB=x+
x=10,
解得x=
.
∴当x=
时,四边形PQRB是平行四边形.
∴QP=
1 |
2 |
此时△PQR在△ABC内,y=S△PQR=
| ||
4 |
(2)①∵四边形AQRB是等腰梯形,
∴BR=AQ,∠PBR=∠A=30°.
∵∠APQ=∠RPQ=60°,
∴∠BPR=60°.
又∵PR=PQ,
∴△BPR≌△APQ.
∴BP=AP=
1 |
2 |
∴AP=
1 |
2 |
∴当x=5时,四边形AQRB是等腰梯形.
②要使四边形PQRB是平行四边形,则R应在BC上.
∵△PQR是等边三角形,
∴QR=PQ=
1 |
2 |
又∵四边形PQRB是平行四边形,
∴BP=QR=
1 |
2 |
∴AB=x+
1 |
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解得x=
20 |
3 |
∴当x=
20 |
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