高数问题，证明题，求个过程再有点讲解最好了。设f(x)≥0,[a,b]上连续,且∫a到bf(x)dx=0试证明在[a,b]上f(x)=0

Question

高数问题，证明题，求个过程再有点讲解最好了。
设f(x)≥0,[a,b]上连续,且∫a到bf(x)dx=0试证明在[a,b]上f(x)=0

Answer 1

假设f(x)≠0，因为f(x)≥0，那么必然f(x)＞0,
又因为f(x)在[a,b]上连续，所以0＜m＜f(x)＜M，（m，M为f(x)在[a,b]上的最小最大值）
则根据定积分比较定理，∫（a到b）mdx＜∫a到bf(x)dx，得
m（b-a）＜∫a到bf(x)dx=0，即m（b-a）＜0，m＜0，矛盾。所以f(x)=0
newmanhero 2015年1月30日18:46:15
希望对你有所帮助，望采纳。