拉格朗日插值公式的几个问题谁能详细讲解下拉格朗日插值公式的使用还有其离散形式以及证明答案好的话还会加分!

Question

拉格朗日插值公式的几个问题
谁能详细讲解下拉格朗日插值公式的使用还有其离散形式以及证明答案好的话还会加分!

Answer 1

一．线性插值(一次插值）
已知函数f(x)在区间[xk ,xk+1 ]的端点上的函数值yk =f(xk ),yk+1 = f(xk+1 ),求一个一次函数y=P1 (x)使得yk =f(xk ),yk+1 =f(xk+1 ),其几何意义是已知平面上两点(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),求一条直线过该已知两点.
1.插值函数和插值基函数
由直线的点斜式公式可知：
把此式按照 yk 和yk+1 写成两项:
记
并称它们为一次插值基函数.该基函数的特点如下表：
从而
P1 (x) = yk lk (x) + yk+1 lk+1 (x)
此形式称之为拉格朗日型插值多项式.其中,插值基函数与yk 、yk+1 无关,而由插值结点xk 、xk+1 所决定.一次插值多项式是插值基函数的线性组合,相应的组合系数是该点的函数值yk 、yk+1 .
例1:已知lg10=1,lg20=1.3010,利用插值一次多项式求lg12的近似值.
f(x)=lgx,f(10)=1,f(20)=1.3010,设
x0 =10 ,x1 =20 ,y0 =1 ,y1 =1.3010
则插值基函数为：
于是,拉格朗日型一次插值多项式为:
故 :
即lg12 由lg10 和lg20 两个值的线性插值得到,且具有两位有效数字(精确值lg12=1.0792).
二．二次插值多项式
已知函数y=f(x)在点xk-1 ,xk ,xk+1 上的函数值yk-1 =f(xk-1 ),yk =f(xk ),yk+1 =f(xk+1 ),求一个次数不超过二次的多项式P2 (x),使其满足,
P2 (xk-1 )=yk-1 ,P2 (xk )=yk ,P2 (xk+1 )=yk+1 .
其几何意义为:已知平面上的三个点
(xk-1 ,yk-1 ),(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),
求一个二次抛物线,使得该抛物线经过这三点.
1.插值基本多项式
有三个插值结点xk-1 ,xk ,xk+1 构造三个插值基本多项式,要求满足：
(1) 基本多项式为二次多项式； (2) 它们的函数值满足下表：
因为lk-1 (xk )= 0,lk-1 (xk+1 )=0,故有因子(x-xk )(x-xk+1 ),而其已经是一个二次多项式,仅相差一个常数倍,可设
lk-1 (x)=a(x-xk )(x-xk+1 ),
又因为
lk-1 (xk-1 )=1 ==> a(xk-1 -xk )(xk-1 -xk+1 )=1
得
从而
同理得
基本二次多项式见右上图(点击按钮“显示Li”).
2.拉格朗日型二次插值多项式
由前述,拉格朗日型二次插值多项式:
P2 (x)=yk-1 lk-1 (x)+yk lk (x)+yk+1 lk+1 (x),P2 (x)
是三个二次插值多项式的线性组合,因而其是次数不超过二次的多项式,且满足:
P2 (xi )=yi ,(i=k-1,k,k+1) .
例2 已知：
xi 10 15 20
yi=lgxi 1 1.1761 1.3010
利用此三值的二次插值多项式求lg12的近似值.
设x0 =10,x1 =15,x2 =20,则:
故:
所以
7利用三个点进行抛物插值得到lg12的值,与精确值lg12=1.0792相比,具有3位有效数字,精度提高了.
三、拉格朗日型n次插值多项式
已知函数y=f(x)在n+1个不同的点x0 ,x1 ,…,x2 上的函数值分别为
y0 ,y1 ,…,yn ,求一个次数不超过n的多项式Pn (x),使其满足:
Pn (xi )=yi ,(i=0,1,…,n),
即n+1个不同的点可以唯一决定一个n次多项式.
1.插值基函数
过n+1个不同的点分别决定n+1个n次插值基函数
l0 (x),l1 (x),…,ln (X)
每个插值基本多项式li (x)满足：
(1) li (x)是n次多项式;
(2) li (xi )=1,而在其它n个li (xk )=0 ,(k≠i).
由于li (xk )=0 ,(k≠i),故有因子:
(x-x0 )…(x-xi-1 )(x-xi+1 )…(x-xn )
因其已经是n次多项式,故而仅相差一个常数因子.令:
li (x)=a(x-x0 )…(x-xi-1 )(x-xi+1 )…(x-xn )
由li (xi )=1,可以定出a,进而得到：
2.n次拉格朗日型插值多项式Pn (x)
Pn (x)是n+1个n次插值基本多项式l0 (x),l1 (x),…,ln (X)的线性组合,相应的组合系数是y0 ,y1 ,…,yn .即:
Pn (x)=y0 l0 (x)+y1 l1 (x)+…+yn ln (x) ,
从而Pn (x)是一个次数不超过n的多项式,且满足
Pn (xi )=yi ,(i=0,1,2,…,n).
例3 求过点(2,0),(4,3),(6,5),(8,4),(10,1)的拉格朗日型插值多项式.
解 用4次插值多项式对5个点插值.
所以
四、拉格朗日插值多项式的截断误差
我们在[a,b]上用多项式Pn (x) 来近似代替函数f(x),其截断误差记作
Rn (x)=f(x)-Pn (x)
当x在插值结点xi 上时Rn (xi )=f(xi )-P n(xi )=0,下面来估计截断误差：
定理1：设函数y=f(x)的n阶导数y(n) =f(n) (x)在[a,b]上连续,
y(n+1) = f(n+1) (x)
在(a,b)上存在；插值结点为:
a≤x0