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求点的轨迹过圆C:x^2+y^2-4x+2y-4=0内的点P(1,-2)作弦AB,求弦AB中点的轨迹
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求点的轨迹
过圆C:x^2+y^2-4x+2y-4=0内的点P(1,-2)作弦AB,求弦AB中点的轨迹
过圆C:x^2+y^2-4x+2y-4=0内的点P(1,-2)作弦AB,求弦AB中点的轨迹
▼优质解答
答案和解析
设该中点为D(X,Y),题中定点为C(1,-2)则由D是AB中点,可以设A(X+t,Y+u),B(X-t,Y-u).
整理圆的方程,得到:(x-2)^2+(y+1)^2=9,A,B两点的坐标分别代入圆的方程,得到:
(X+t-2)^2+(Y+u+1)^2=9,(X-t-2)^2+(Y-u+1)^2=9.两式相减,整理,得到:1.u/t=(X-2)/(Y+1)
由于直线AB过点D,C所以DC和AB的斜率是相等的,也得到:
2.{Y+u-(Y-u)]/[X+t-(X-t)]=(Y+2)/(X-1)
由1,2两式得到:(X-2)/(Y+1))=(Y+2)/(X-1),也就是:
3.(X+Y)(X-3)=0
如果AB的斜率不存在,则第2式是不成立的.此时AB的方程是x=1,代入圆的方程,求出两交点的坐标是A(-1,1+√8),B(-1,1-√8)D的坐标是:(-1,1)也适合方程3.
所以,D的轨迹方程是(X+Y)(X-3)=0
整理圆的方程,得到:(x-2)^2+(y+1)^2=9,A,B两点的坐标分别代入圆的方程,得到:
(X+t-2)^2+(Y+u+1)^2=9,(X-t-2)^2+(Y-u+1)^2=9.两式相减,整理,得到:1.u/t=(X-2)/(Y+1)
由于直线AB过点D,C所以DC和AB的斜率是相等的,也得到:
2.{Y+u-(Y-u)]/[X+t-(X-t)]=(Y+2)/(X-1)
由1,2两式得到:(X-2)/(Y+1))=(Y+2)/(X-1),也就是:
3.(X+Y)(X-3)=0
如果AB的斜率不存在,则第2式是不成立的.此时AB的方程是x=1,代入圆的方程,求出两交点的坐标是A(-1,1+√8),B(-1,1-√8)D的坐标是:(-1,1)也适合方程3.
所以,D的轨迹方程是(X+Y)(X-3)=0
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