设正整数m,n满足m

Question

设正整数m,n满足m

Answer 1

1/m-1/(n+1)
=(n-m+1)/[m(n+1)]
=1/23;
整理得到
23(n+1-m)=m(n+1);
23(n+1)-23m=m(n+1);
m=23(n+1)/(n+24)……(1),
因为m是正整数,故 23(n+1)=k(n+24);
23n+23=kn+24k;
(23-k)n=24k-23……(2);
因为m0; 解得 n>[-1+根号(93)]/2 > [-1+9]/2=4,即n>=5.
另一方面,k不能取奇数,因为当k为奇数时,23-k为偶,(23-k)n为偶,而此时(2)式右边为奇,所以等式无法成立.
所以k只能取 6,8,10,12,14,16,18,20,22
而容易观察k只能取22.实际上23-k只能是1才能保证24k-23能整除23-k.
比如,若k=20,23-k=3; 而右边24*3-23中23不含因子3,所以不能整除左边.
若k=18,23-18=5; 而右边24*18-23中均不含因子5,所以不能整除左边.
同理容易看出其他也不行.所以k=22.
所以k=22.n=505,此时m=22.m+n=527.