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正方形ABCD的一个内接三角形是EAF,如果角EAF=45,求证ABCD面积比三角形EAF面积等于AB比EF的两倍.
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正方形ABCD的一个内接三角形是EAF,如果角EAF=45,求证ABCD面积比三角形EAF面积等于AB比EF的两倍.
▼优质解答
答案和解析
证明:将△ADF绕点A旋转,使AD与AB重合,旋转后点F的对应点为G
∵正方形ABCD
∴∠BAD=90
∵△ADF绕点A旋转至△ABG
∴△ABG≌△ADF
∴AG=AF,∠BAG=∠DAF
∵∠EAF=45
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=45
∴∠EAG=∠BAE+∠BAG=∠BAE+∠DAF=45
∴∠EAG=∠EAF
∵AE=AE
∴△AEG≌△AEF (SAS)
∴S△AEG=S△AEF,EG=EF
∴S△AEF=S△AEG=EG×AB/2=EF×AB/2
∵S正方形ABCD=AB×AB
∴S正方形ABCD/ S△AEF=(AB×AB)/(EF×AB/2)=2AB/EF
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∵正方形ABCD
∴∠BAD=90
∵△ADF绕点A旋转至△ABG
∴△ABG≌△ADF
∴AG=AF,∠BAG=∠DAF
∵∠EAF=45
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=45
∴∠EAG=∠BAE+∠BAG=∠BAE+∠DAF=45
∴∠EAG=∠EAF
∵AE=AE
∴△AEG≌△AEF (SAS)
∴S△AEG=S△AEF,EG=EF
∴S△AEF=S△AEG=EG×AB/2=EF×AB/2
∵S正方形ABCD=AB×AB
∴S正方形ABCD/ S△AEF=(AB×AB)/(EF×AB/2)=2AB/EF
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