如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M、N在边BC上，且∠MAN=45°，MB=1，CN=3，求MN的长．

Question

如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M、N在边BC上，且∠MAN=45°，MB=1，CN=3，求MN的长．

Answer 1

过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°．
∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．
在△ABM和△ACE中，

AB=AC

∠B=∠ACE

BM=CE

，
∴△ABM≌△ACE（SAS）．
∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．
∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．
于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．
在△MAN和△EAN中，

AM=AE

∠MAN=∠EAN

AN=AN

，
∴△MAN≌△EAN（SAS）．
∴MN=EN．
在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN²=EC²+NC²．
∴MN²=BM²+NC²．
∵BM=1，CN=3，
∴MN²=1²+3²，
∴MN=√(10)．