如图，正方形ABCE的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，且△CMN的周长为2，则△MAN的面积的最小值为（）A.2−1B.22−2C.22D.22−1

Question

如图，正方形ABCE的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，且△CMN的周长为2，则△MAN的面积的最小值为（　　）
A. √(2)−1
B. 2√(2)−2
C. 2√(2)
D. 2√(2)−1

Answer 1

延长CB至L，使BL=DN，
则Rt△ABL≌Rt△AND，
故AL=AN，
∴△AMN≌△AML，
∴∠MAN=∠MAL=45°，
设CM=x，CN=y，MN=z
x²+y²=z²，
∵x+y+z=2，
则x=2-y-z
∴（2-y-z）²+y²=z²，
整理得2y²+（2z-4）y+（4-4z）=0，
∴△=4（z-2）²-32（1-z）≥0，
即（z+2+2√(2)）（z+2-2√(2)）≥0，
又∵z＞0，
∴z≥2√(2)-2，当且仅当x=y=2-√(2)时等号成立
此时S_△AMN=S_△AML=(1)/(2)ML•AB=(1)/(2)z
因此，当z=2√(2)-2，x=y=2-√(2) 时，S_△AMN取到最小值为 √(2)-1．
故选A．