证明:如果p为质数且p>3,则数p^2-1可被24整除

Question

证明:如果p为质数且p>3,则数p^2-1可被24整除

Answer 1

首先,p>3 为质数,因此 p 是奇数,设 p=2n+1 ,
则 p^2-1=(2n+1)^2-1=4n^2+4n=4n(n+1) ,
由于 n、n+1 是连续正整数,其中一个必为偶数,
因此 p^2-1 能被 8 整除；
其次,p>3 为质数,则 p 被 3 除余 1 或 -1（也就是 p 不能被 3 整除） ,设 p=3m±1 ,
则 p^2-1=(3m±1)^2-1=9m^2±6m=3(3m^2±2m) 能被 3 整除,
所以,p^2-1 能被 8*3=24 整除 .