若等式（2x-1）2014=a0+a1x+a2x2+…+a2014x2014对于一切实数x都成立，则a0+12a1+13a2+…+12015a2014=（）A.14030B.12015C.22015D.0

Question

若等式（2x-1）²⁰¹⁴=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₄x²⁰¹⁴对于一切实数x都成立，则a₀+

(1)/(2)a₁+(1)/(3)a₂+…+(1)/(2015)a₂₀₁₄=（　　）

A.

(1)/(4030)

B.

(1)/(2015)

C.

(2)/(2015)

D. 0

Answer 1

解法一：∵(2x-1)2014=a0+a1x+a2x2+…+a2014x2014，
∴(1)/(4030)(2x-1)2015+C=a0x+(1)/(2)a1x2+(1)/(3)a2x3+…+(1)/(2015)a2014x2015（C为常数），
取x=1得a0+(1)/(2)a1+(1)/(3)a2+…+(1)/(2015)a2014=(1)/(4030)+C，
再取x=0得(1)/(4030)(-1)2015+C=0，即得C=(1)/(4030)，
∴a0+(1)/(2)a1+(1)/(3)a2+…+(1)/(2015)a2014=(1)/(2015)，
故选B．
解法二：∵(2x-1)2014=a0+a1x+a2x2+…+a2014x2014，
∴

∫

1 0

(2x-1)2014dx=

∫

1 0

(a0+a1x+a2x2+…+a2014x2014)dx，
∴(1)/(2015)=a0+(1)/(2)a1+(1)/(3)a2+…+(1)/(2015)a2014，
故选B．