某设计部门承接一产品包装盒的设计（如图所示），客户除了要求AB、BE边的长分别为20cm和30cm外，还特别要求包装盒必需满足：①平面ADE⊥平面ADC；②平面ADE与平面ABC所成的二面角不小于60°

Question

某设计部门承接一产品包装盒的设计（如图所示），客户除了要求AB、BE边的长分别为20cm和30cm外，还特别要求包装盒必需满足：①平面ADE⊥平面ADC；②平面ADE与平面ABC所成的二面角不小于60°；③包装盒的体积尽可能大．若设计部门设计出的样品满足：∠ACB与∠ACD均为直角且AB长20cm，矩形DCBE的一边长为30cm，请你判断该包装盒的设计是否能符合客户的要求？说明理由．

Answer 1

该包装盒的样品设计符合客户的要求．
以下证明满足条件①的要求．
∵四边形DCBE为矩形，∠ACB与∠ACD均为直角，
∴CB⊥AC且CB⊥DC∴CB⊥面ADC，
在矩形DCBE中，DE∥CB
∴DE⊥面ADC∴面ADE⊥面ADC…（3分）
以下证明满足条件②、③的要求．
∵矩形DCBE的一边长为30cm，
而直角三角形ABC的斜边AB长为20cm，∴BE=30
设BC=t，则AC＝√(400−t2)，
以C为原点，CA、CB、CD分别为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系C-xyz，
则A(√(400−t2)，0，0)，B（0，t，0），D（0，0，30），E（0，t，30），
设面ADE的一个法向量为n₁=（x，y，z），

DA

＝(√(400−t2)，0，−30)，

DE

＝(0，t，0)
∵n1•

DA

＝0且n1•

DE

＝0
∴

作业帮用户 2017-10-27 举报

问题解析

该包装盒的样品设计符合客户的要求，先证明满足条件①的要求，根据已知条件可证DE⊥面ADC，从而证得面ADE⊥面ADC，再证明满足条件②、③的要求，根据矩形DCBE的一边长为30cm，而直角三角形ABC的斜边AB长为20cm，则BE=30，设BC=t，则AC＝√(400−t2)，以C为原点，CA、CB、CD分别为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系C-xyz，求出面ADE的一个法向量为n₁，而面ABC的一个法向量为n₂=（0，0，1），设面ADE与面ABC所成的二面角为θ，则cosθ≤(1)/(2)，求出t的范围确保面ADE与面ABC所成的二面角不小于60°，然后表示四棱锥A-BCDE的体积，利用基本不等式求出取最值时的t，看是否满足条件即可．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．

考点点评：

本题主要考查了面面垂直的判定，以及用空间向量求平面间的夹角和利用基本不等式求体积的最值，同时考查了计算能力，属于中档题．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议