设随机变量X，Y的概率分布为X01P1323Y-101P131313且P（X2=Y2）=1．（Ⅰ）求二维随机变量（X，Y）的概率分布；（Ⅱ）求Z=XY的概率分布；（Ⅲ）求X与Y的相关系数ρXY

Question

设随机变量X，Y的概率分布为

X	0	1
P	(1)/(3)	(2)/(3)

Y	-1	0	1
P	(1)/(3)	(1)/(3)	(1)/(3)

且P（X²=Y²）=1．
（Ⅰ）求二维随机变量（X，Y）的概率分布；
（Ⅱ）求Z=XY的概率分布；
（Ⅲ）求X与Y的相关系数ρ_XY．

Answer 1

由于P（X²=Y²）=1，所以P（X²≠Y²）=0
而P（X²≠Y²）=P（X=0，Y=1）+P（X=0，Y=-1）+P（X=1，Y=0）
且概率为非负值，所以P（X=0，Y=1）=P（X=0，Y=-1）=P（X=1，Y=0）=0
由边缘分布的定义知；P（X=0）=P（X=0，Y=-1）+P（X=0，Y=0）+P（X=0，Y=1）
从而P(X＝0，Y＝0)＝(1)/(3)P（Y=1）=P（X=0，Y=1）+P（X=1，Y=1），
所以P(X＝1，Y＝1)＝(1)/(3)P（Y=-1）=P（X=0，Y=-1）+P（X=1，Y=-1），
所以P(X＝1，Y＝−1)＝(1)/(3)
综上（I）（X，Y）的分布

Y x	-1	0	1
0	0	(1)/(3)	0
1	(1)/(3)	0	(1)/(3)

（II） Z=XY的分布Z的取值为Z=-1，0，1，而
P(Z＝−1)＝P(X＝1，Y＝−1)＝(1)/(3)P(Z＝0)＝P(X＝0，Y＝−1)+P(X＝0，Y＝0)+P(X＝0，Y＝1)+P(X＝1，Y＝0)＝(1)/(3)P(Z＝1)＝P(X＝1，Y＝1)＝(1)/(3)，
所以

Z	-1	0	1
P	(1)/(3)	(1)/(3)	(1)/(3)

（III）由于Cov（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）
而E(XY)＝−1×(1)/(3)+0×(1)/(3)+1×(1)/(3)＝0，
EX＝0×(1)/(3)+1×(2)/(3)＝(2)/(3)，
E(Y)＝−1×(1)/(3)+0×(1)/(3)+1×(1)/(3)＝0，
从而ρXY＝(Cov(X，Y))/(√(D(X))作业帮用户2016-12-03问题解析（I）已知两个随机变量分布，求联合分布．注意到P（X2=Y2）=1，从而P（X2≠Y2）=0，然后利用P{X=0}=P{X=0，Y=-1}+P{X=0，Y=0}+P{X=0，Y=1}求出P{X=0，Y=0}，以此类推求出P{X=0，Y=-1}，P{X=0，Y=1}的概率即可．（II）考查二维随机变量函数的概率分布的计算．列出Z=XY的可能取值，然后由（I）的结果直接计算即可．（III）考查两随机变量的相关系数．由（I）和（II）中求出的X和Y的联合分布以及Z的分布直接利用公式计算相关系数．名师点评本题考点：联合分布、边缘分布和条件分布的关系；二维离散型随机变量的分布函数；离散型随机变量的边缘分布律；相关系数的定义．考点点评：本题是已知边缘分布与部分联合分布求联合分布、随机变量函数分布于数字特征的问题，关键是正确分解时间{X2=Y2}．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)