如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：△ADC≌△BDF；（2）若CD=2，求AD的长．

Question

如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：△ADC≌△BDF；
（2）若CD=√(2)，求AD的长．

Answer 1

（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∴∠ACD+∠DAC=90°．
∵∠BAD=45°，
∴∠ABD=45°，
∴∠BAD=∠DBA，
∴AD=BD．
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠ACD+∠EBC=90°，∠ADB=∠ADC
∴∠DAC=∠DBF．
在△ADC和△BDF中，

∠DAC＝∠DBF

AD＝BD

∠ADC＝∠BDF

，
∴△ADC≌△BDF（ASA）；

（2）△ADC≌△BDF，
∴DC=DF．
∵CD=√(2)，
∴DF=√(2)．
在Rt△CDF中，由勾股定理，得
CF=2．
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AE=CE，
∴BE是AC的中垂线，
∴AF=CF，
∴AF=2，
∵AD=AF+DF，
∴AD=2+√(2)．
答：AD的长为2+√(2)．