已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1．（Ⅰ）证明数列{an+1}是等比数列，并求{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：1a1+1a2+…+1an＜2．

Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（Ⅰ）证明数列{a_n+1}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：(1)/(a1)+(1)/(a2)+…+(1)/(an)＜2．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，…3分
∴a_n=2ⁿ-1（n∈N^_*）．…5分
（Ⅱ）∵n≥2时（2ⁿ-1）-2^n-1=2^n-1＞0，即2ⁿ-1＞2^n-1，
∴(1)/(2n−1)＜(1)/(2n−1)（n≥2），…9分
所以(1)/(a1)+(1)/(a2)+…+(1)/(an)＜1+(1)/(2)+(1)/(22)+…+(1)/(2n−1)=2（1-(1)/(2n−1)）＜2．…12分