an=√(1*2)+√(2*3)+√(3*4)……+√[n(n+1)],n=1.234……证明n(n+1)/2＜an＜[(n+1)]^2/2

Question

an=√(1*2)+√(2*3)+√(3*4)……+√[n(n+1)],n=1.2 3 4 ……证明n(n+1)/2＜an＜[(n+1)]^2/2

Answer 1

an=√(1*2)+√(2*3)+√(3*4)+...+√[n(n+1)].
[[[[1]]]
由基本不等式可得:2√[n(n+1)]＜n+(n+1)
即恒有:2√[n(n+1)]＜2n+1.n=1,2,3,4,
由此可得
2√(1*2)＜2×1+1
2√(2*3)＜2×2+1
2√(3*4)＜2×3+1
.
2√[n(n+1)]＜2n+1
上面式子累加,可得
2(an)＜n+n(n+1)=n²+2n＜(n+1)²
∴an＜(n+1)²/2
[[[[2]]]]
易知,恒有:n(n+1)＞n²,n=1,2,3,4,
∴恒有:√[n(n+1)]＞n
由此可得
√(1*2)＞1
√(2*3)＞2
...
√[n(n+1)]＞n
累加,可得
an＞n(n+1)/2
上面结合起来,即可证明.