已知定义在R上的函数f（x）和数列{an}，a1=a，a2≠a1，当n∈N*且n≥2时，an=f（an-1），且f（an）-f（an-1）=k（an-an-1），其中a，k均为非零常数．（Ⅰ）若数列{an}是等差数列，求k的值；（Ⅱ）令bn

Question

已知定义在R上的函数f（x）和数列{a_n}，a₁=a，a₂≠a₁，当n∈N^*且n≥2时，a_n=f（a_n-1），且f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1），其中a，k均为非零常数．
（Ⅰ）若数列{a_n}是等差数列，求k的值；
（Ⅱ）令b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），若b₁=1，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）若数列{a_n}为等比数列，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

（Ⅰ）由已知a_n=f（a_n-1），f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1），
   a_n+1-a_n=f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1），
∵数列{a_n}是等差数列，∴a_n+1-a_n=a_n-a_n-1
∴k=1
（Ⅱ）由b₁=a₂-a₁≠0，可得b₃=a₃-a₂=f（a₂）-f（a₁）=k（a₂-a₁）≠0
且当n＞2时
bn=a_n+1-a_n=f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1）=…=k^n-1（a₂-a₁）≠0
且(bn)/(bn−1)=(an+1−an)/(an−an−1)=(f(an)−f(an−1))/(an−an−1)=k
∴数列{b_n}是一个以首项为b₁，公比为k的等比数列
∴数列{b_n}的通项公式为  b_n=kⁿ（n∈N^*）
（Ⅲ）若数列{a_n}为等比数列，由（Ⅱ）得b_n=k^n-1（a₂-a₁）
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n-1=（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=a_n-a₁
∴a_n=a₁+（b₁+b₂+b₃+…+b_n-1）
当k=1时，a_n=a₁+（a₂-a₁）（n-1）（n≥2）
上式对n=1也成立，所以数列{a_n}的通项公式为a_n=a+（f（a）-a）（n-1）
所以当k=1时，数列{a_n}是一个以首项为a，公差为f（a）-a的等差数列
∴k≠1
当k≠1时，a_n=a₁+（a₂-a₁）(1−kn−1)/(1−k) （n≥2）
上式对n=1也成立
∴a_n=a+（f（a）-a）(1−kn−1)/(1−k)=a+(f(a)−a)/(1−k)-((f(a)−a)kn−1)/(1−k)
∴a+(f(a)−a)/(1−k)=0
∴f（a）=ka
∴等式f（a）=ka对任意实数a均成立
∴f（x）=kx （k≠1）