已知正项数列{an}中，对于一切的n∈N*均有an2≤an-an+1成立．（1）证明：数列{an}中的任意一项都小于1；（2）探究an与1n的大小，并证明你的结论．

Question

已知正项数列{a_n}中，对于一切的n∈N^*均有a_n²≤a_n-a_n+1成立．
（1）证明：数列{a_n}中的任意一项都小于1；
（2）探究a_n与(1)/(n)的大小，并证明你的结论．

Answer 1

（1）a_n²≤a_n-a_n+1，得a_n+1≤a_n-a_n²
∵在数列{a_n}中a_n＞0，
∴a_n+1＞0，
∴a_n-a_n²＞0，
∴0＜a_n＜1
故数列{a_n}中的任意一项都小于1．
（2）由（1）知0＜an＜1＝(1)/(1)，
那么a2≤a1−

a

2 1

＝−(a1−(1)/(2))2+(1)/(4)≤(1)/(4)＜(1)/(2)，
由此猜想：an＜(1)/(n)（n≥2）．下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，显然成立；
②当n=k时（k≥2，k∈N）时，假设猜想正确，即ak＜(1)/(k)≤(1)/(2)，
那么ak+1≤ak−

a

2 k

＝−(ak−(1)/(2))2+(1)/(4)＜−((1)/(k)−(1)/(2))2+(1)/(4)＝(1)/(k)−(1)/(k2)＝(k−1)/(k2)＜(k−1)/(k2−1)＝(1)/(k+1)，
∴当n=k+1时，猜想也正确
综上所述，对于一切n∈N^*，都有an＜(1)/(n)．