在数列{an}中，Sn+1=4an+2，a1=1．（1）bn=an+1-2an，求证数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn．

Question

在数列{a_n}中，S_n+1=4a_n+2，a₁=1．
（1）b_n=a_n+1-2a_n，求证数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式及其前n项和S_n．

Answer 1

解（1）证明：∵S_n=4a_n-1+1（n≥2）且a₁=1．
∴S_n+1=4a_n+1．两式作差得：S_n+1-S_n=4a_n+1-4a_n-1-1=4a_n-4a_n-1．
故a_n+1=4a_n-4a_n-1．即a_n+1-2a_n=2a_n-4a_n-1=2（a_n-2a_n-1），
即b_n=2b_n-1，n≥2，则数列{b_n}是公比q=2的等比数列；
（2）由（1）知数列{a_n+1-2a_n}是公比q=2的等比数列；
∵S_n=4a_n-1+1（n≥2）且a₁=1．∴S₂=4a₁+1=4+1=5，
即1+a₂=5，解得a₂=5-1=4．则a₂-2a₁=4-2=2，
即数列{a_n+1-2a_n}的首项为2，则a_n+1-2a_n=2•2^n-1=2ⁿ．
令cn=(an)/(2n)，则cn+1-cn=(1)/(2)，即数列{c_n}是公差d=(1)/(2)，首项为(1)/(2)的等差数列．
∴cn=(an)/(2n)=(1)/(2)+(1)/(2)(n-1)=(n)/(2)，∴a_n=n•2^n-1