设a1=1,an+1=1+an说明{an}的收敛性,并求极限.
设a1=1,an+1=说明{an}的收敛性,并求极限.
答案和解析
【方法一】显然a
n≥1,从而
an+1≥,(n=1,2,3,…).
因为
|an+1−an|=|−|=|an−an−1|≤|an−an−1|,(n=2,3,…),
所以{an}是压缩数列,
从而{an}收敛,
设an=a,则a≥.
因为an+1=,
令n→∞可得,a=,
从而a2-a-1=0,
注意到a≥,故求解方程可得:a=.
【方法二】显然a2=<2,a1<a2,
由归纳法可证,1≤an+1<2,an≤an+1,(n=1,2,3,…),
从而{an}单调递增且有界,
于是{an}收敛.
设an=a,则a≥1,
在an+1=中令n→∞取极限,
得a=,a2-a-1=0,
所以,a=.
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