设a1=1，an+1=1+an说明{an}的收敛性，并求极限．

Question

设a₁=1，a_n+1=√(1+an)说明{a_n}的收敛性，并求极限．

Answer 1

【方法一】显然a_n≥1，从而an+1≥√(2)，（n=1，2，3，…）．
因为
|an+1−an|＝|√(1+an)−√(1+an−1)|=(1)/(√(1+an)+√(1+an−1))|an−an−1|≤(1)/(√(2))|an−an−1|，（n=2，3，…），
所以{a_n}是压缩数列，
从而{a_n}收敛，
设

lim

n→∞

an＝a，则a≥√(2)．
因为an+1＝√(1+an)，
令n→∞可得，a＝√(1+a)，
从而a²-a-1=0，
注意到a≥√(2)，故求解方程可得：a＝(1+√(5))/(2)．
【方法二】显然a2＝√(2)＜2，a₁＜a₂，
由归纳法可证，1≤a_n+1＜2，a_n≤a_n+1，（n=1，2，3，…），
从而{a_n}单调递增且有界，
于是{a_n}收敛．
设

lim

n→∞

an＝a，则a≥1，
在an+1＝√(1+an)中令n→∞取极限，
得a＝√(1+a)，a²-a-1=0，
所以，a＝(1+√(5))/(2)．