如何解决微分方程y''=9.8-0.265(y')^2

Question

如何解决微分方程 y''=9.8-0.265(y')^2

Answer 1

设P=y'=dy/dx
y"=dp/dx=dp/dy * dy/dx=dp/dy *p
代入
P*dp/dy=9.8-.265p^2
p/(9.8-.265*p^2) dp=dy
ln|19.6-.53p^2|=-.53y+C
19.6-.53p^2=Ce^(-.53y) ===> p^2-37=y'^2-37=Ce^(-.53y)
========>y'=dy/dx=√[37+C1e^(-.53y)]
x=∫1/√[37+C1e^(-.53y)] *dy
C1>=0时
设 C1e^(-.53y)=37tan^(t) lnC1-.53y=ln37+2lntant
dy=(-1/.53)*2ctant*sec^t=-2/(.53*sint*cost) dt
1/√[37+C1e^(-.53y)]=cost/√37
x=∫-2/(.53*√37*sint) dt=-2/(.53*√37） *ln|tan(scst-cott)|+C2
C1e^(-.53y)=37tan^(t)
同样设 C1e^(-.53y)=37sin^(t) 可以解C1