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函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象交y轴于点P,且函数图象在P点处的切线方程为12x-y-4=0,若函数f(x)在x=2处取得极值为0.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)的单调增区间.
题目详情
函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象交y轴于点P,且函数图象在P点处的切线方程为12x-y-4=0,若函数f(x)在x=2处取得极值为0.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调增区间.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调增区间.
▼优质解答
答案和解析
(1)函数f(x)与y轴交点P(0,d),
又f′(x)=3ax2+2bx+c,f′(2)=12a+4b+c=0,①
又函数f(x)在x=2处取得极值为0,所以f(2)=8a+4b+2c+d=0,②
又切线的斜率k=12,所以f′(0)=c=12,③
过P点的直线y-d=12(x-0)⇒12x-y+d=0 ④
解①,②,③,④得a=2,b=-9,c=12,d=-4
所以f(x)=2x3-9x2+12x-4
(2)f′(x)=6x2-18x+12>0得x>2或x<1.
函数f(x)的单调增区间为(-∞,1),(2,+∞)
又f′(x)=3ax2+2bx+c,f′(2)=12a+4b+c=0,①
又函数f(x)在x=2处取得极值为0,所以f(2)=8a+4b+2c+d=0,②
又切线的斜率k=12,所以f′(0)=c=12,③
过P点的直线y-d=12(x-0)⇒12x-y+d=0 ④
解①,②,③,④得a=2,b=-9,c=12,d=-4
所以f(x)=2x3-9x2+12x-4
(2)f′(x)=6x2-18x+12>0得x>2或x<1.
函数f(x)的单调增区间为(-∞,1),(2,+∞)
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