若向量（a+3b）垂直（7a-5b）,并且（a-4b）垂直（7a-2b）,求向量a与b的夹角

Question

若向量（a+3b）垂直（7a-5b）,并且（a-4b）垂直（7a-2b）,求向量a与b的夹角

Answer 1

用a*b表示向量a和向量b的内积运算
a+3b垂直7a-5b得到
(a+3b)*(7a-5b) = 0
即7a*a + 16a*b - 15b*b = 0……（1）
a-4b垂直7a-2b得到
(a-4b)*(7a-2b) = 0
即7a*a - 30a*b + 8b*b = 0……（2）
由（1）-（2）可以得到
|b|^2 = b*b = 2a*b
再将上式代入（1）得到
|a|^2 = a*a = 2a*b
设a,b的夹角为x
cos(x)
= a*b / (|a||b|)
= a*b / 2a*b
= 1/2
所以
x=60度