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若A为m*n矩阵,A^TA=0证明A=0
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A=(aij) 应该是实矩阵
证明:由转置矩阵的定义及矩阵的乘法可知,
A 的第i列的元素为 a1i,a2i,...,ani
A^T的第i行的元素为 a1i,a2i,...,ani
所以,A^TA第i行第i列的元素为 a1i^2+a2i^2+...+ani^2
由A^TA=0 知 a1i^2+a2i^2+...+ani^2 = 0.
所以 a1i=a2i=...=ani=0.
即A的第i列的元素全为0.
i=1,2,...,n
所以A=0.
证明:由转置矩阵的定义及矩阵的乘法可知,
A 的第i列的元素为 a1i,a2i,...,ani
A^T的第i行的元素为 a1i,a2i,...,ani
所以,A^TA第i行第i列的元素为 a1i^2+a2i^2+...+ani^2
由A^TA=0 知 a1i^2+a2i^2+...+ani^2 = 0.
所以 a1i=a2i=...=ani=0.
即A的第i列的元素全为0.
i=1,2,...,n
所以A=0.
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