甲、乙两人先约定一个自然数N,然后由甲开始,轮流把1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字中的一个填入六个方格中,每一方格只能填入一个数字,但各个方格所填的数字可以重复,当6个方格都填

Question

甲、乙两人先约定一个自然数N,然后由甲开始,轮流把1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字中的一个填入六个方格中,每一方格只能填入一个数字,但各个方格所填的数字可以重复,当6个方格都填有数字后,就形成一个六位数.如果这个数能被N整除,乙就获胜,反之,甲胜.设N小于15,能使乙获胜的N有多少种?

Answer 1

N取偶数,甲可以在最右边方格里填一个奇数（六位数的个位）,就使六位数不能被N整除,乙不能获胜．N=5,甲就可以在六位数的个位填一个不是0或5的数,甲就获胜．如果N=1,很明显乙必获胜；如果N=3或9,那么乙在填最后一个数时,总是能把六个数字之和凑成3的整数倍或9的整数倍,因此乙必获胜,N=7,11,13时是本题最困难的情况,因为我们知道1001=7×11×13,乙就有一种必胜的方法．我们从左往右数这六个格子,把第一与第四,第二与第五,第三与第六配对,甲在一对格子的一格上填某一个数字后,乙就在这一对格子的另一格上填同样的数字,这就保证所填写的六位数能被1001整除（abcabc=abc×1001）,这个六位数就能被7、11或13整除,故乙就能获胜．综合起来,使乙获胜的N是1,3,7,9,11,13．
N取偶数,甲可以在最右边方格里填一个奇数（六位数的个位）,就使六位数不能被N整除,乙不能获胜．
N=5,甲就可以在六位数的个位填一个不是0或5的数,甲就获胜．
上面已经列出了乙不能获胜的N的取值情况．
如果N=1,很明显乙必获胜．
如果N=3或9,那么乙在填最后一个数时,总是能把六个数字之和凑成3的整数倍或9的整数倍,因此乙必获胜．
当N=7,11,13时是本题最困难的情况,因为我们知道1001=7×11×13,乙就有一种必胜的方法．我们从左往右数这六个格子,把第一与第四,第二与第五,第三与第六配对,甲在一对格子的一格上填某一个数字后,乙就在这一对格子的另一格上填同样的数字,这就保证所填写的六位数能被1001整除（abcabc=abc×1001）,这个六位数就能被7、11或13整除,故乙就能获胜．
综合起来,使乙获胜的N是1,3,7,9,11,13；
答：当N取1、3、7、9、11、13这几个数时,乙才能取胜．
利用分类取值的方法,牢记1001=7×11×13,是解决此题的关键．