求三角形AOB的面积的最小值P为第一象限曲线y=-x³+1上的一个动点,P处的切线与X,Y轴分别交于A,B两点

Question

求三角形AOB的面积的最小值
P为第一象限曲线y=-x³+1上的一个动点,P处的切线与X,Y轴分别交于A,B两点

Answer 1

y'=-3x^2,
设P(m,-m^3+1),m>0,则
P处的切线y-(1-m^3)=(-3m^2)(x-m),即y=-3m^2*x+2m^3+1
与X,Y轴分别交于A((2m^3+1)/(3m^2),0),B(0,2m^3+1),
∴S△OAB=(2m^3+1)^2/(6m^2),记为f(m),
f'(m)=(1/6)[2(2m^3+1)*6m^2/m^2-2(2m^3+1)^2/m^3]
=(1/3)(2m^3+1)(4m^3-1)/m^3,
由f'(m)=0,得m1=1/4^(1/3),
∴f(m)|min=f(m1)=(9/4)/[3/2^(1/3)]=(3/4)*2^(1/3),为所求.